Дмитрий Николаевич родился в семье контр-адмирала и получил дворянское образование, с детства знал французский и немецкий языки.
В 1941 году ушел на фронт и прошел всю войну, начав ее рядовым, а закончив капитаном, командиром танковой бригады.
По возвращении к мирной жизни работал на заводе штамповщиком, а после окончания Ленинградской школы тренеров тренировал юниорскую сборную Ленинграда.
На взрослом уровне Богинов добился выдающихся успехов в качестве тренера горьковского Торпедо. Он возглавил команду в 1955 году, когда она занимала последнее место в чемпионате СССР, и за пять лет вывел ее в призеры. В 1961 году торпедовцы завоевали серебряные медали союзного первенства, и это был первый случай в истории турнира, когда на пьедестал почета поднялась команда не из Москвы. В том же сезоне торпедовцы выиграли престижный турнир на призы газеты ?Советский спорт? и дошли до финала Кубка СССР.
Помимо работы в клубах, Дмитрий Николаевич в разные годы возглавлял молодёжные сборные СССР, выигрывал с ними Универсиады в Турине и Инсбруке.
Закончив тренерскую карьеру в 1978 году, он возглавил Федерацию хоккея РСФСР и занимал пост председателя с 1979 по 1987 год.